최대 정수 함수_{(r1 문단 편집)}

== 역사 ==
대괄호 기호를 처음 사용한 것은 다름 아닌 [[카를 프리드리히 가우스]]이다. 가우스는 [[2차 잉여|[math(2)]차 잉여]] 중 특히 [[2차 잉여#s.2-3|[math(2)]차 잉여의 상호 법칙]]에 대한 연구를 하다가, 어느 값보다 작거나 같은 정수라는 개념이 필요했고, 이를 대괄호를 이용하여 간단히 [math([x])] 라고 표기했다. 가우스는 이 기호에 딱히 이름 같은 것을 부여하진 않았는데[* 이 기호에 엄연히 '대괄호'란 이름이 붙어있으니 딱히 새 이름 붙일 필요성은 못 느꼈을 수도 있다.] 가우스가 발견한 증명 중 [math(3)]번째 증명이 최대 정수 함수를 사용하는 '가우스 판정법'(자세한 것은 [[2차 잉여|[math(2)]차 잉여]] 항목 참조)을 이용하는 것[* 다만, 현재 [[정수론]] 교과서에 나오는 것은 고트홀트 아이젠슈타인(Gotthold Eisenstein)이 다시 정리한 형태이다.]이었다. 덤으로 [[가우스 정수]] 체계 하에서도 이 법칙이 성립함을 보이긴 하지만, 이건 최대 정수 함수와는 관련이 없다.

다만, 가우스보다 몇 년 이전에 [[아드리앵마리 르장드르|르장드르]](Adrien-Marie Legendre)가 [[팩토리얼|[math(n!)]]]의 [math(p)]진 값매김(valuation) [math(\nu_p(n!))][* [math(\nu_p(n) = \begin{cases}\max\{m\in\mathbb N:p^m|n\} & (n\ne0) \\ \infty & (n=0)\end{cases})][br]로 나타내며 정수 [math(n)]이 소수 [math(p)]의 [math(m)]제곱 [math(p^m)]으로 나누어 떨어질 때 지수 [math(m)]의 최댓값을 의미한다. 예를 들면 [math(600=2^3\cdot3\cdot5^2)]이므로 [math(\nu_2(600)=3)], [math(\nu_3(600)=1)], [math(\nu_5(600)=2)]이다.]에 대한 공식[* 르장드르의 공식이라고 하는데 [math(\displaystyle \nu_p(n!) = \sum_{i=1}^\infty \left\lfloor\frac n{p^i}\right\rfloor)]이 성립한다. 예를 들어 [math(n=5)]이면 [math(5!=120=2^3\cdot3\cdot5)]이므로 [math(\nu_2(5!)=3)], [math(\nu_3(5!)=1)], [math(\nu_5(5!)=1)]인데 이를 다음과 같이 구할 수 있다는 뜻이다.[br][math(\displaystyle \nu_2(5!)=\sum_{i=1}^\infty \left\lfloor\frac5{2^i}\right\rfloor \!= \!\left\lfloor\frac52\right\rfloor + \left\lfloor\frac54\right\rfloor \!= 2+1 = 3 \\ \nu_3(5!)=\sum_{i=1}^\infty \left\lfloor\frac5{3^i}\right\rfloor \!= \!\left\lfloor\frac53\right\rfloor \!= 1 \\ \nu_5(5!)=\sum_{i=1}^\infty \left\lfloor\frac5{5^i}\right\rfloor \!= \!\left\lfloor\frac55\right\rfloor \!= 1)]]을 구하면서 최대 정수 함수 개념을 언급한 것으로 보아서는, 다른 수학자들도 대괄호 기호를 쓰지만 않았을 뿐이지 이 개념의 포텐셜을 어느 정도는 직감했을 것이다. 실제로 곧이어 [[리만-스틸체스 적분]]이 정립되면서 최대 정수 함수는 [[급수(수학)|급수]]나 리만합 등을 나타내는 데에 쓰일 수가 있었고, 따라서 [[해석적 정수론]]에 적극적으로 도입되었다. [[소수정리]]의 이전 단계인 [math(n)]과 [math(2n)] 사이에 항상 [[소수(수론)|소수]]가 존재한다는 베르트랑 가설(Bertrand's postulate)을 체비셰프(Chebyshev)가 증명하는 데에도 [math(\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac x{30}\right\rfloor \le \left\lfloor\dfrac x2\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac x3\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac x5\right\rfloor)] 같은 최대 정수 함수의 성질을 이용하였다.

[[톱니파|소수 부분을 나타내는 함수]] [math(\left\{x\right\} = x - \left\lfloor x\right\rfloor)]도 최대 정수 함수와 비슷하게 주목을 받았는데, 정수론에서 [[합동식]]이 나오며 몫이 쩌리가 되고 [[나머지]]가 주류가 된 것처럼 나중 가면 이게 더 많이 쓰일 때도 있었다. 실제로 급수 계산 등에서 [math(\left\lfloor x\right\rfloor)]는 [math(x - \left\{x\right\})]로 대체되어, 보통 '주항' [math(x)]에 관한 해석적인 계산은 쉽게 나타나고 '오차항' [math(\{x\})]에 관한 계산이 복잡한 경우가 많다. 물론 몫의 개념이 필요할 때도 있는 만큼 정수부분/소수부분 둘다 별도의 쓰임새가 있다.

현대의 바닥 함수 기호([math(\lfloor\cdot\rfloor)]) 및 천장 함수 기호([math(\lceil\cdot\rceil)])는 비교적 늦게 나타났는데, [math(1962)]년에 정보 공학자인 케네스 아이버슨(Kenneth Iverson)이 그의 저서 《프로그래밍 언어》(A Programming Language, 1962)에서 처음으로 도입했고, 나중에 수학 전반 분야에서 표준화되었다. 이는 대괄호에 워낙 겹치는 의미가 많아서[* 연산 순서를 바꾸는 기본적인 용도를 포함해서 1차 [[정사각행렬]], [[구간]] 정의 등...] 새로운 표기법을 받아들인 것으로 보인다. 소수부를 나타내는 [math(\left\{x\right\} = x - \left\lfloor x\right\rfloor)]는 여전히 잘 사용되고 있다.

요약

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